Legge dei grandi numeri

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La scheda: Legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jakob Bernoulli), descrive il comportamento della media di una sequenza di n variabili casuali indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.) al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media vera. Che cosa significhi ragionevolmente sicuri dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove avremmo una stima grossolana, con cento ne otterremmo una molto più precisa, con mille ancora di più e così via: il valore di n che siamo disposti ad accettare come sufficiente dipende dal grado di casualità che riteniamo necessario per il dado in questione.
In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può dire:
che la media della sequenza è un'approssimazione, che migliora al crescere di n, della media della distribuzione,
e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande sarà n.
Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri è la previsione probabilistica della proporzione di successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un evento E: per n che tende a infinito, la proporzione di successi converge alla probabilità di E (vedi esempio).



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