Metodo delle tangenti

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Metodo delle tangenti

La scheda: Metodo delle tangenti

In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo che contiene una sola radice.
Il metodo consiste nel sostituire alla curva la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto, per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa del punto in cui la tangente interseca l'asse delle internamente all'intervallo .
Supponiamo che nell'intervallo la funzione e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero.
Conviene tracciare la tangente nell'estremo dell'intervallo in cui la funzione e la sua derivata seconda hanno lo stesso segno, nell'esempio della figura nel punto di ascissa .
L'equazione della tangente nel punto di ascissa risulta quindi ponendo
Abbiamo determinato il nuovo intervallo contenente la radice che stiamo cercando. Ripetendo il procedimento per otteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l'asse delle )

Procedendo in modo iterativo si ottiene la relazione di ricorrenza

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle converge alla radice piuttosto rapidamente.
Più in dettaglio, si dimostra che se
dove è un opportuno intorno della radice con e se
allora

cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione, mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni ). Se invece la radice è multipla, cioè allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita , il procedimento iterativo si fa terminare quando .
Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che sia disponibile direttamente per un dato . Nei casi in cui questo non si verifica e risulterebbe necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.


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