Misura esterna

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La scheda: Misura esterna

In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura esterna è una funzione definita su tutti i sottoinsiemi di un dato insieme, a valori reali estesi, che soddisfa alcune condizioni tecniche supplementari.
La teoria generale delle misure esterne è stata sviluppata da Constantin Carathéodory per trovare una base per la teoria degli insiemi misurabili e delle misure numerabilmente addittive. Il lavoro di Carathéodory sulle misure esterne ha trovato molte applicazioni nella teoria degli insiemi misurabili ed è stata essenziale ad Hausdorff per definire un invariante metrico ora chiamato dimensione di Hausdorff.
Le misure sono generalizzazioni di lunghezza, area e volume, e sono utili per insiemi molto più irregolari di semplici intervalli o palle aperte in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Si richiede la definizione di una funzione di misura generalizzata φ {\displaystyle \varphi } che soddisfa le seguenti tre condizioni:
Ogni intervallo dei reali {\displaystyle } ha misura b − a {\displaystyle b-a} .
La funzione di misura φ {\displaystyle \varphi } è una funzione non negativa a valori reali estesi definita per ogni sottoinsieme di R {\displaystyle \mathbb {R} } .
La funzione di misura φ {\displaystyle \varphi } è numerabilmente additiva. In modo esplicito, per ogni successione { A j } j {\displaystyle \{A_{j}\}_{j}} di sottoinsiemi a due a due disgiunti di X {\displaystyle X} si ha:
Lo scopo di costruire una misura esterna per tutti i sottoinsiemi di X {\displaystyle X} è quello di estrarre un'opportuna classe di sottoinsiemi detti misurabili in modo che la proprietà di additività numerabile sia soddisfatta.


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