Prodotto scalare

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Prodotto scalare

La scheda: Prodotto scalare

In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo. Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
Alcuni autori propongono una definizione più generale di prodotto scalare, senza specificarne l'appartenenza al campo reale. Talvolta si identifica il prodotto scalare con il prodotto interno o con il concetto di forma bilineare simmetrica.
Si tratta di uno strumento fondamentale sia in fisica che in vari settori della matematica, ad esempio nella classificazione delle coniche, nello studio di una funzione differenziabile intorno ad un punto stazionario, delle trasformazioni del piano o nella risoluzione di alcune equazioni differenziali. Spesso in questi contesti viene fatto uso del teorema spettrale, un importante risultato connesso al prodotto scalare. Nel piano cartesiano il prodotto scalare mette in relazione due vettori e le loro lunghezze con l'angolo fra questi, e permette di definire e trattare le nozioni geometriche di lunghezza, angolo e perpendicolarità in spazi vettoriali di dimensione arbitraria.
La nozione di prodotto scalare è generalizzata in algebra lineare dallo spazio euclideo ad uno spazio vettoriale qualsiasi: tale spazio può avere dimensione infinita ed essere definito su un campo arbitrario K. Questa generalizzazione è di fondamentale importanza ad esempio in geometria differenziale e in meccanica razionale. Aggiungendo un'ulteriore proprietà, la completezza, porta inoltre al concetto di spazio di Hilbert, per il quale la teoria si arricchisce di strumenti più sofisticati, basilari nella modellizzazione della meccanica quantistica e in molti campi dell'analisi funzionale.



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FOTO: Prodotto scalare

Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori e .

Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori e .

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